Επίλυση 2(x-1)^3=54

$$2 ( x - 1 ) ^ { 3 } = 54$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=4$$

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-2,598076211i$$

Βήματα λύσης

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\left(x-1\right)^{3}=\frac{54}{2}$$

Διαιρέστε το 54 με το 2 για να λάβετε 27.

$$\left(x-1\right)^{3}=27$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Αφαιρέστε 27 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Αφαιρέστε 27 από -1 για να λάβετε -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -28 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=4$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-3x^{2}+3x-28 με το x-4 για να λάβετε x^{2}+x+7. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 1 για b και 7 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}+x+7=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=4 x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

Βήματα λύσης

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\left(x-1\right)^{3}=\frac{54}{2}$$

Διαιρέστε το 54 με το 2 για να λάβετε 27.

$$\left(x-1\right)^{3}=27$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Αφαιρέστε 27 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Αφαιρέστε 27 από -1 για να λάβετε -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -28 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=4$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-3x^{2}+3x-28 με το x-4 για να λάβετε x^{2}+x+7. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 1 για b και 7 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$x\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=4$$