Επίλυση 2(x+3)^2=x+3

$$2 ( x + 3 ) ^ { 2 } = x + 3$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)=x+3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18=x+3$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+12x+18-x=3$$

Συνδυάστε το 12x και το -x για να λάβετε 11x.

$$2x^{2}+11x+18=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+11x+18-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 18 για να λάβετε 15.

$$2x^{2}+11x+15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=2\times 15=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=5 b=6$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+11x+15 ως \left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right).

$$\left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x+5\right)+3\left(2x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x+5=0 και x+3=0.

$$x=-\frac{5}{2} x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)=x+3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18=x+3$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+12x+18-x=3$$

Συνδυάστε το 12x και το -x για να λάβετε 11x.

$$2x^{2}+11x+18=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+11x+18-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 18 για να λάβετε 15.

$$2x^{2}+11x+15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 11 και το c με 15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 15}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-11±1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±1}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±1}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το -12 με το 4.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{5}{2} x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)=x+3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18=x+3$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+12x+18-x=3$$

Συνδυάστε το 12x και το -x για να λάβετε 11x.

$$2x^{2}+11x+18=3$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+11x=3-18$$

Αφαιρέστε 18 από 3 για να λάβετε -15.

$$2x^{2}+11x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+11x}{2}=-\frac{15}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{11}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{121}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{15}{2} και το \frac{121}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{1}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{4}=\frac{1}{4} x+\frac{11}{4}=-\frac{1}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{5}{2} x=-3$$