Επίλυση 2(x+2)^2=5(3-x)

$$2 ( x + 2 ) ^ { 2 } = 5 ( 3 - x )$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+4x+4.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 3-x.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+8x+8-15=-5x$$

Αφαιρέστε 15 από 8 για να λάβετε -7.

$$2x^{2}+8x-7=-5x$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+8x-7+5x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το 5x για να λάβετε 13x.

$$2x^{2}+13x-7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -14.

$$-1,14 -2,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=-1 b=14$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+13x-7 ως \left(2x^{2}-x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(14x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+4x+4.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 3-x.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+8x+8-15=-5x$$

Αφαιρέστε 15 από 8 για να λάβετε -7.

$$2x^{2}+8x-7=-5x$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+8x-7+5x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το 5x για να λάβετε 13x.

$$2x^{2}+13x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 13 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -7.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+56}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 169 και το 56.

$$x=\frac{-13±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$x=\frac{-13±15}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-13±15}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±15}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±15}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -13.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Διαιρέστε το -28 με το 4.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+4x+4\right)=5\left(3-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}+4x+4.

$$2x^{2}+8x+8=5\left(3-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 3-x.

$$2x^{2}+8x+8=15-5x$$

Προσθήκη 5x και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+8x+8+5x=15$$

Συνδυάστε το 8x και το 5x για να λάβετε 13x.

$$2x^{2}+13x+8=15$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+13x=15-8$$

Αφαιρέστε 8 από 15 για να λάβετε 7.

$$2x^{2}+13x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{7}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{7}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{13}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{13}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{13}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{7}{2}+\frac{169}{16}$$

Προσθέστε το \frac{7}{2} και το \frac{169}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{225}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{15}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{15}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{13}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-7$$