Επίλυση 2y^2+5y-12

$$2 { y }^{ 2 } +5y-12$$

Παράγοντας

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2y^{2}+ay+by-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-3 b=8$$

Γράψτε πάλι το 2y^{2}+5y-12 ως \left(2y^{2}-3y\right)+\left(8y-12\right).

$$\left(2y^{2}-3y\right)+\left(8y-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε το y στην πρώτη και το 4 στη δεύτερη ομάδα.

$$y\left(2y-3\right)+4\left(2y-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}+5y-12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -12.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$y=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$y=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$y=\frac{-5±11}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-5±11}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 11.

$$y=\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-5±11}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -5.

$$y=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -16 με το 4.

$$y=-4$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με x_{1} και το -4 με x_{2}.

$$2y^{2}+5y-12=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\left(-4\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2y^{2}+5y-12=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y+4\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2y^{2}+5y-12=2\times \frac{2y-3}{2}\left(y+4\right)$$

Απαλοιφή του 2, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 2 και 2.

$$2y^{2}+5y-12=\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$