Επίλυση 2x^2-7x-15

$$2 { x }^{ 2 } -7x-15$$

Παράγοντας

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-10 b=3$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-7x-15 ως \left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-7x-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{7±13}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±13}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 13.

$$x=\frac{20}{4}$$

Διαιρέστε το 20 με το 4.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±13}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 7.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 5 με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}-7x-15=\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$