Επίλυση 2x^2-7x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=2\times 3=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-6 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-7x+3 ως \left(2x^{2}-6x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(2x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-7x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -7 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 3}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 49 και το -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{7±5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±5}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 5.

$$x=\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±5}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 7.

$$x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-7x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-7x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{2} και το \frac{49}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Προσθέστε \frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$