Επίλυση 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-40. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-16 b=5$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-11x-40 ως \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-8=0 και 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -11 και το c με -40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±21}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το 32 με το 4.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±21}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Προσθέστε 40 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Η αφαίρεση του -40 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Αφαιρέστε -40 από 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το 40 με το 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Προσθέστε το 20 και το \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Προσθέστε \frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$