Επίλυση 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Αφαιρέστε 30 από -6 για να λάβετε -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-36. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-8 b=9$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+x-36 ως \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Η αφαίρεση του 30 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Αφαιρέστε 30 από -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 1 και το c με -36 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 1 και το 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±17}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το 16 με το 4.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±17}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Η αφαίρεση του -6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Αφαιρέστε -6 από 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Διαιρέστε το 36 με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το 18 και το \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$