Επίλυση 2x^2+x-528=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16.5$$

$$x=16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-528. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1056.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-32 b=33$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+x-528 ως \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right).

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 33 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-16 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-16=0 και 2x+33=0.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 1 και το c με -528 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 1 και το 4224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4225.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±65}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 65.

$$x=\frac{64}{4}$$

Διαιρέστε το 64 με το 4.

$$x=16$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±65}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 65 από -1.

$$x=-\frac{66}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-66}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{33}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Προσθέστε 528 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

Η αφαίρεση του -528 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

Αφαιρέστε -528 από 0.

$$2x^{2}+x=528$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

Διαιρέστε το 528 με το 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το 264 και το \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$