Επίλυση 2x^2+5x-817=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21,5$$

$$x=19$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-817. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1634.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-38 b=43$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+5x-817 ως \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right).

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 43 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-19 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-19=0 και 2x+43=0.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 5 και το c με -817 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -817.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το 6536.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 6561.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±81}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 81.

$$x=\frac{76}{4}$$

Διαιρέστε το 76 με το 4.

$$x=19$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±81}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 81 από -5.

$$x=-\frac{86}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-86}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{43}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Προσθέστε 817 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

Η αφαίρεση του -817 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

Αφαιρέστε -817 από 0.

$$2x^{2}+5x=817$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το \frac{817}{2} και το \frac{25}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$