Επίλυση 2x^2+11x-30

$$2 { x }^{ 2 } +11x-30$$

Παράγοντας

$$\left(x-2\right)\left(2x+15\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=2\left(-30\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-4 b=15$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+11x-30 ως \left(2x^{2}-4x\right)+\left(15x-30\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(15x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(2x+15\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+11x-30=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -30.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-11±19}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±19}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 19.

$$x=\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το 8 με το 4.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±19}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -11.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 2 με το x_{1} και το -\frac{15}{2} με το x_{2}.

$$2x^{2}+11x-30=2\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{15}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}+11x-30=2\left(x-2\right)\left(x+\frac{15}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{15}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}+11x-30=2\left(x-2\right)\times \frac{2x+15}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}+11x-30=\left(x-2\right)\left(2x+15\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-2\right)\left(2x+15\right)$$