Επίλυση 2sqrt{9x}-6=10-2sqrt{x}

$$2 \sqrt { 9 x } - 6 = 10 - 2 \sqrt { x }$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{9x}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{9x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 9x.

$$4\times 9x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 9 για να λάβετε 36.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}+12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Αφαιρέστε \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}=12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Αφαιρέστε 12\left(10-2\sqrt{x}\right) και από τις δύο πλευρές.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4x\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 100-40\sqrt{x}+4x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$36x-100+40\sqrt{x}-4x-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Συνδυάστε το 36x και το -4x για να λάβετε 32x.

$$32x-100+40\sqrt{x}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -12 με το 10-2\sqrt{x}.

$$32x-100+40\sqrt{x}-120+24\sqrt{x}=36$$

Αφαιρέστε 120 από -100 για να λάβετε -220.

$$32x-220+40\sqrt{x}+24\sqrt{x}=36$$

Συνδυάστε το 40\sqrt{x} και το 24\sqrt{x} για να λάβετε 64\sqrt{x}.

$$32x-220+64\sqrt{x}=36$$

Προσθήκη 220 και στις δύο πλευρές.

$$32x+64\sqrt{x}=36+220$$

Προσθέστε 36 και 220 για να λάβετε 256.

$$32x+64\sqrt{x}=256$$

Αφαιρέστε 32x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$64\sqrt{x}=256-32x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(64\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(64\sqrt{x}\right)^{2}.

$$64^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 64στη δύναμη του 2 και λάβετε 4096.

$$4096\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$4096x=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-32x+256\right)^{2}.

$$4096x=1024x^{2}-16384x+65536$$

Αφαιρέστε 1024x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4096x-1024x^{2}=-16384x+65536$$

Προσθήκη 16384x και στις δύο πλευρές.

$$4096x-1024x^{2}+16384x=65536$$

Συνδυάστε το 4096x και το 16384x για να λάβετε 20480x.

$$20480x-1024x^{2}=65536$$

Αφαιρέστε 65536 και από τις δύο πλευρές.

$$20480x-1024x^{2}-65536=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-1024x^{2}+20480x-65536=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1024, το b με 20480 και το c με -65536 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{20480^{2}-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Υψώστε το 20480 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1024.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400+4096\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4096 επί -65536.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-268435456}}{2\left(-1024\right)}$$

Προσθέστε το 419430400 και το -268435456.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{150994944}}{2\left(-1024\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 150994944.

$$x=\frac{-20480±12288}{2\left(-1024\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1024.

$$x=\frac{-20480±12288}{-2048}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20480±12288}{-2048} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20480 και το 12288.

$$x=-\frac{8192}{-2048}$$

Διαιρέστε το -8192 με το -2048.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20480±12288}{-2048} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12288 από -20480.

$$x=-\frac{32768}{-2048}$$

Διαιρέστε το -32768 με το -2048.

$$x=16$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=16$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην εξίσωση 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$6=6$$

Αντικαταστήστε το x με 16 στην εξίσωση 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 16}-6=10-2\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=16 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$18=2$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην εξίσωση 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$6=6$$

Η εξίσωση 2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=4$$