Επίλυση 2*(3x+4)-2*(5x+2)=3:(2x+2)+4*(4x+10)

$$2 \cdot ( 3 x + 4 ) - 2 \cdot ( 5 x + 2 ) = 3 : ( 2 x + 2 ) + 4 \cdot ( 4 x + 10 )$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,108452405$$

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,691547595$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 3x+4.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12x+16 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε -2 και 2 για να λάβετε -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 5x+2.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -20x-8 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το -20x^{2} για να λάβετε -8x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 28x και το -28x για να λάβετε 0.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Αφαιρέστε 8 από 16 για να λάβετε 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 4x+10.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 32x+80 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Προσθέστε 3 και 80 για να λάβετε 83.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Αφαιρέστε 83 και από τις δύο πλευρές.

$$-8x^{2}+8-83=32x^{2}+112x$$

Αφαιρέστε 83 από 8 για να λάβετε -75.

$$-8x^{2}-75=32x^{2}+112x$$

Αφαιρέστε 32x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-8x^{2}-75-32x^{2}=112x$$

Συνδυάστε το -8x^{2} και το -32x^{2} για να λάβετε -40x^{2}.

$$-40x^{2}-75=112x$$

Αφαιρέστε 112x και από τις δύο πλευρές.

$$-40x^{2}-75-112x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-40x^{2}-112x-75=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -40, το b με -112 και το c με -75 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{\left(-112\right)^{2}-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Υψώστε το -112 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -40.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544+160\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 160 επί -75.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-12000}}{2\left(-40\right)}$$

Προσθέστε το 12544 και το -12000.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{544}}{2\left(-40\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 544.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -112 είναι 112.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -40.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 112 και το 4\sqrt{34}.

$$x=\frac{4\sqrt{34}+112}{-80}$$

Διαιρέστε το 112+4\sqrt{34} με το -80.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{34} από 112.

$$x=\frac{112-4\sqrt{34}}{-80}$$

Διαιρέστε το 112-4\sqrt{34} με το -80.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 3x+4.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12x+16 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε -2 και 2 για να λάβετε -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 5x+2.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -20x-8 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το -20x^{2} για να λάβετε -8x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 28x και το -28x για να λάβετε 0.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Αφαιρέστε 8 από 16 για να λάβετε 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 2 για να λάβετε 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 4x+10.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 32x+80 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Προσθέστε 3 και 80 για να λάβετε 83.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Αφαιρέστε 32x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-8x^{2}+8-32x^{2}=83+112x$$

Συνδυάστε το -8x^{2} και το -32x^{2} για να λάβετε -40x^{2}.

$$-40x^{2}+8=83+112x$$

Αφαιρέστε 112x και από τις δύο πλευρές.

$$-40x^{2}+8-112x=83$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$-40x^{2}-112x=83-8$$

Αφαιρέστε 8 από 83 για να λάβετε 75.

$$-40x^{2}-112x=75$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -40.

$$\frac{-40x^{2}-112x}{-40}=\frac{75}{-40}$$

Η διαίρεση με το -40 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -40.

$$x^{2}+\left(-\frac{112}{-40}\right)x=\frac{75}{-40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-112}{-40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=\frac{75}{-40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{75}{-40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{15}{8}$$

Διαιρέστε το \frac{14}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{15}{8}+\frac{49}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{15}{8} και το \frac{49}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{17}{200}$$

Παραγον x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{17}{200}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{200}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{34}}{20} x+\frac{7}{5}=-\frac{\sqrt{34}}{20}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$