Επίλυση 196=2x^2+16+8x+x^2+4x

$$196 = 2 x ^ { 2 } + 16 + 8 x + x ^ { 2 } + 4 x$$

Λύση ως προς x

$$x=-10$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Συνδυάστε το 8x και το 4x για να λάβετε 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Αφαιρέστε 196 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+16+12x-196=0$$

Αφαιρέστε 196 από 16 για να λάβετε -180.

$$3x^{2}-180+12x=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}-60+4x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+4x-60=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-60. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-6 b=10$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+4x-60 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(10x-60\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(10x-60\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)+10\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+10=0.

$$x=6 x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Συνδυάστε το 8x και το 4x για να λάβετε 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Αφαιρέστε 196 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+16+12x-196=0$$

Αφαιρέστε 196 από 16 για να λάβετε -180.

$$3x^{2}-180+12x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+12x-180=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 12 και το c με -180 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 3\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 3\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-12\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -180.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2160}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 144 και το 2160.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2304}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2304.

$$x=\frac{-12±48}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-12±48}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±48}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 48.

$$x=\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το 36 με το 6.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±48}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 48 από -12.

$$x=-\frac{60}{6}$$

Διαιρέστε το -60 με το 6.

$$x=-10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Συνδυάστε το 2x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Συνδυάστε το 8x και το 4x για να λάβετε 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+12x=196-16$$

Αφαιρέστε 16 από 196 για να λάβετε 180.

$$3x^{2}+12x=180$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+12x}{3}=\frac{180}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{12}{3}x=\frac{180}{3}$$

Διαιρέστε το 12 με το 3.

$$x^{2}+4x=\frac{180}{3}$$

Διαιρέστε το 180 με το 3.

$$x^{2}+4x=60$$

Διαιρέστε το 4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+2^{2}=60+2^{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+4=60+4$$

Προσθέστε το 60 και το 4.

$$x^{2}+4x+4=64$$

Παραγον x^{2}+4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=64$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Απλοποιήστε.

$$x+2=8 x+2=-8$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-10$$