Επίλυση 184x^2+140x-116

$$184 { x }^{ 2 } +140x-116$$

Παράγοντας

$$4\left(2x-1\right)\left(23x+29\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(46x^{2}+35x-29\right)$$

Υπολογίστε 46x^{2}+35x-29. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 46x^{2}+ax+bx-29. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=35 ab=46\left(-29\right)=-1334$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1334.

$$-1,1334 -2,667 -23,58 -29,46$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+1334=1333 -2+667=665 -23+58=35 -29+46=17$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 35.

$$a=-23 b=58$$

Γράψτε πάλι το 46x^{2}+35x-29 ως \left(46x^{2}-23x\right)+\left(58x-29\right).

$$\left(46x^{2}-23x\right)+\left(58x-29\right)$$

Παραγοντοποιήστε 23x στο πρώτο και στο 29 της δεύτερης ομάδας.

$$23x\left(2x-1\right)+29\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(23x+29\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(2x-1\right)\left(23x+29\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$184x^{2}+140x-116=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\times 184\left(-116\right)}}{2\times 184}$$

Υψώστε το 140 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\times 184\left(-116\right)}}{2\times 184}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 184.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-736\left(-116\right)}}{2\times 184}$$

Πολλαπλασιάστε το -736 επί -116.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+85376}}{2\times 184}$$

Προσθέστε το 19600 και το 85376.

$$x=\frac{-140±\sqrt{104976}}{2\times 184}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 104976.

$$x=\frac{-140±324}{2\times 184}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 184.

$$x=\frac{-140±324}{368}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-140±324}{368} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -140 και το 324.

$$x=\frac{184}{368}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{184}{368} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 184.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-140±324}{368} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 324 από -140.

$$x=-\frac{464}{368}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-464}{368} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=-\frac{29}{23}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{29}{23} με το x_{2}.

$$184x^{2}+140x-116=184\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{29}{23}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$184x^{2}+140x-116=184\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{29}{23}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$184x^{2}+140x-116=184\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{29}{23}\right)$$

Προσθέστε το \frac{29}{23} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$184x^{2}+140x-116=184\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{23x+29}{23}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-1}{2} επί \frac{23x+29}{23} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$184x^{2}+140x-116=184\times \frac{\left(2x-1\right)\left(23x+29\right)}{2\times 23}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 23.

$$184x^{2}+140x-116=184\times \frac{\left(2x-1\right)\left(23x+29\right)}{46}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 46 σε 184 και 46.

$$184x^{2}+140x-116=4\left(2x-1\right)\left(23x+29\right)$$

Υπολογισμός

$$184x^{2}+140x-116$$