Επίλυση 18x^2-15x+2

$$18 x ^ { 2 } - 15 x + 2$$

Παράγοντας

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 18x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=18\times 2=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-12 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 18x^{2}-15x+2 ως \left(18x^{2}-12x\right)+\left(-3x+2\right).

$$\left(18x^{2}-12x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 6x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$6x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$18x^{2}-15x+2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 18\times 2}}{2\times 18}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 18\times 2}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-72\times 2}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -72 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-144}}{2\times 18}$$

Προσθέστε το 225 και το -144.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{81}}{2\times 18}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±9}{2\times 18}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±9}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 18.

$$x=\frac{15±9}{36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±9}{36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 9.

$$x=\frac{24}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{24}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±9}{36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 15.

$$x=\frac{6}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{2}{3} με το x_{1} και το \frac{1}{6} με το x_{2}.

$$18x^{2}-15x+2=18\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{6}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{2}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{3x-2}{3}\left(x-\frac{1}{6}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{6} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{6x-1}{6}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-2}{3} επί \frac{6x-1}{6} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)}{3\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 6.

$$18x^{2}-15x+2=18\times \frac{\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)}{18}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 18 σε 18 και 18.

$$18x^{2}-15x+2=\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-2\right)\left(6x-1\right)$$