Επίλυση 18t^2-9t-5

$$18 t ^ { 2 } - 9 t - 5$$

Παράγοντας

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 18t^{2}+at+bt-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-15 b=6$$

Γράψτε πάλι το 18t^{2}-9t-5 ως \left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right).

$$\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3t στην εξίσωση 18t^{2}-15t.

$$3t\left(6t-5\right)+6t-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6t-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$18t^{2}-9t-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 18.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -72 επί -5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Προσθέστε το 81 και το 360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$t=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 18.

$$t=\frac{9±21}{36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{9±21}{36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 21.

$$t=\frac{30}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$t=\frac{5}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{9±21}{36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 9.

$$t=-\frac{12}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{6} με το x_{1} και το -\frac{1}{3} με το x_{2}.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Αφαιρέστε t από \frac{5}{6} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το t βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\times \frac{3t+1}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{6t-5}{6} επί \frac{3t+1}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{6\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 6 επί 3.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{18}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 18 σε 18 και 18.

$$18t^{2}-9t-5=\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$