Επίλυση 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 18x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-15 b=6$$

Γράψτε πάλι το 18x^{2}-9x-5 ως \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην εξίσωση 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 6x-5=0 και 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 18, το b με -9 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -72 επί -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Προσθέστε το 81 και το 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±21}{36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±21}{36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Η αφαίρεση του -5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Αφαιρέστε -5 από 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Η διαίρεση με το 18 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-9}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το \frac{5}{18} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Προσθέστε \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$