Επίλυση 18x^2-27x+4=0

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 18x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -27.

$$a=-24 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 18x^{2}-27x+4 ως \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 6x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-4=0 και 6x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 18, το b με -27 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Υψώστε το -27 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το -72 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Προσθέστε το 729 και το -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -27 είναι 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±21}{36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 27 και το 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{48}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±21}{36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$18x^{2}-27x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

Η διαίρεση με το 18 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-27}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 9.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{9} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$