Επίλυση 175a^2+5a-60=

$$175 a ^ { 2 } + 5 a - 60 =$$

Παράγοντας

$$5\left(7a-4\right)\left(5a+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 5.

$$5\left(35a^{2}+a-12\right)$$

Υπολογίστε 35a^{2}+a-12. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 35a^{2}+pa+qa-12. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=1 pq=35\left(-12\right)=-420$$

Εφόσον το pq είναι αρνητικό, οι p και q έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι p+q είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$p=-20 q=21$$

Γράψτε πάλι το 35a^{2}+a-12 ως \left(35a^{2}-20a\right)+\left(21a-12\right).

$$\left(35a^{2}-20a\right)+\left(21a-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5a στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$5a\left(7a-4\right)+3\left(7a-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7a-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7a-4\right)\left(5a+3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$5\left(7a-4\right)\left(5a+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$175a^{2}+5a-60=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 175\left(-60\right)}}{2\times 175}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 175\left(-60\right)}}{2\times 175}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 175.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25-700\left(-60\right)}}{2\times 175}$$

Πολλαπλασιάστε το -700 επί -60.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25+42000}}{2\times 175}$$

Προσθέστε το 25 και το 42000.

$$a=\frac{-5±\sqrt{42025}}{2\times 175}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 42025.

$$a=\frac{-5±205}{2\times 175}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 175.

$$a=\frac{-5±205}{350}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{-5±205}{350} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 205.

$$a=\frac{200}{350}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{200}{350} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 50.

$$a=\frac{4}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{-5±205}{350} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 205 από -5.

$$a=-\frac{210}{350}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-210}{350} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 70.

$$a=-\frac{3}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{7} με το x_{1} και το -\frac{3}{5} με το x_{2}.

$$175a^{2}+5a-60=175\left(a-\frac{4}{7}\right)\left(a-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$175a^{2}+5a-60=175\left(a-\frac{4}{7}\right)\left(a+\frac{3}{5}\right)$$

Αφαιρέστε a από \frac{4}{7} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$175a^{2}+5a-60=175\times \frac{7a-4}{7}\left(a+\frac{3}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{5} και το a βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$175a^{2}+5a-60=175\times \frac{7a-4}{7}\times \frac{5a+3}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{7a-4}{7} επί \frac{5a+3}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$175a^{2}+5a-60=175\times \frac{\left(7a-4\right)\left(5a+3\right)}{7\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 7 επί 5.

$$175a^{2}+5a-60=175\times \frac{\left(7a-4\right)\left(5a+3\right)}{35}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 35 σε 175 και 35.

$$175a^{2}+5a-60=5\left(7a-4\right)\left(5a+3\right)$$

Υπολογισμός

$$5\left(35a^{2}+a-12\right)$$