Επίλυση 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 16, το b με -64 και το c με 65 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Υψώστε το -64 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 4096 και το -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -64 είναι 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{64±8i}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 64 και το 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Διαιρέστε το 64+8i με το 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{64±8i}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i από 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Διαιρέστε το 64-8i με το 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Αφαιρέστε 65 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Η αφαίρεση του 65 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Η διαίρεση με το 16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Διαιρέστε το -64 με το 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Προσθέστε το -\frac{65}{16} και το 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$