Επίλυση 16x^2+74x+9=0

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0,125$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 16x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 74.

$$a=2 b=72$$

Γράψτε πάλι το 16x^{2}+74x+9 ως \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right).

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 8x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 8x+1=0 και 2x+9=0.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 16, το b με 74 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Υψώστε το 74 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί 9.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 5476 και το -576.

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4900.

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-74±70}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -74 και το 70.

$$x=-\frac{4}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-74±70}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 70 από -74.

$$x=-\frac{144}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-144}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$16x^{2}+74x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Η διαίρεση με το 16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 16.

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{74}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

Διαιρέστε το \frac{37}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{37}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{37}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{37}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{16} και το \frac{1369}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

Παραγον x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

Αφαιρέστε \frac{37}{16} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$