Επίλυση 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 16x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-8 b=18$$

Γράψτε πάλι το 16x^{2}+10x-9 ως \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 8x στην πρώτη και το 9 στη δεύτερη ομάδα.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 2x-1=0 και 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 16, το b με 10 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 100 και το 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±26}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±26}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Η αφαίρεση του -9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Αφαιρέστε -9 από 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Η διαίρεση με το 16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Προσθέστε το \frac{9}{16} και το \frac{25}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{16} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$