Επίλυση 16x^2+10x-9=

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 =$$

Παράγοντας

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 16x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-8 b=18$$

Γράψτε πάλι το 16x^{2}+10x-9 ως \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8x στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 100 και το 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±26}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±26}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{9}{8} με το x_{2}.

$$16x^{2}+10x-9=16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{9}{8}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$16x^{2}+10x-9=16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{9}{8}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{9}{8}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{8} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{8x+9}{8}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-1}{2} επί \frac{8x+9}{8} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)}{16}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 16 σε 16 και 16.

$$16x^{2}+10x-9=\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$