Επίλυση 16m^2+26m+9

$$16 m ^ { 2 } + 26 m + 9$$

Παράγοντας

$$\left(2m+1\right)\left(8m+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 16m^{2}+am+bm+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=26 ab=16\times 9=144$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 26.

$$a=8 b=18$$

Γράψτε πάλι το 16m^{2}+26m+9 ως \left(16m^{2}+8m\right)+\left(18m+9\right).

$$\left(16m^{2}+8m\right)+\left(18m+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8m στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$8m\left(2m+1\right)+9\left(2m+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2m+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2m+1\right)\left(8m+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$16m^{2}+26m+9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$m=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Υψώστε το 26 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$m=\frac{-26±\sqrt{676-64\times 9}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί 9.

$$m=\frac{-26±\sqrt{676-576}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 676 και το -576.

$$m=\frac{-26±\sqrt{100}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$m=\frac{-26±10}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$m=\frac{-26±10}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-26±10}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -26 και το 10.

$$m=-\frac{16}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$m=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-26±10}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -26.

$$m=-\frac{36}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$m=-\frac{9}{8}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{9}{8} με το x_{2}.

$$16m^{2}+26m+9=16\left(m-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(m-\left(-\frac{9}{8}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$16m^{2}+26m+9=16\left(m+\frac{1}{2}\right)\left(m+\frac{9}{8}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το m βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$16m^{2}+26m+9=16\times \frac{2m+1}{2}\left(m+\frac{9}{8}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{8} και το m βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$16m^{2}+26m+9=16\times \frac{2m+1}{2}\times \frac{8m+9}{8}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2m+1}{2} επί \frac{8m+9}{8} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$16m^{2}+26m+9=16\times \frac{\left(2m+1\right)\left(8m+9\right)}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$16m^{2}+26m+9=16\times \frac{\left(2m+1\right)\left(8m+9\right)}{16}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 16 σε 16 και 16.

$$16m^{2}+26m+9=\left(2m+1\right)\left(8m+9\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2m+1\right)\left(8m+9\right)$$