Επίλυση 156=n^2+n

$$156 = { n }^{ 2 } +n$$

Λύση ως προς n

$$n=-13$$

$$n=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$n^{2}+n=156$$

Αφαιρέστε 156 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}+n-156=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε n^{2}+n-156 χρησιμοποιώντας τον τύπο n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=-156$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -156.

$$-1,156 -2,78 -3,52 -4,39 -6,26 -12,13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+156=155 -2+78=76 -3+52=49 -4+39=35 -6+26=20 -12+13=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-12 b=13$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(n+a\right)\left(n+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(n-12\right)\left(n+13\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-12=0 και n+13=0.

$$n=12 n=-13$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$n^{2}+n=156$$

Αφαιρέστε 156 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}+n-156=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-156. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=1\left(-156\right)=-156$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -156.

$$-1,156 -2,78 -3,52 -4,39 -6,26 -12,13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+156=155 -2+78=76 -3+52=49 -4+39=35 -6+26=20 -12+13=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-12 b=13$$

Γράψτε πάλι το n^{2}+n-156 ως \left(n^{2}-12n\right)+\left(13n-156\right).

$$\left(n^{2}-12n\right)+\left(13n-156\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 13 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-12\right)+13\left(n-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-12\right)\left(n+13\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-12=0 και n+13=0.

$$n=12 n=-13$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$n^{2}+n=156$$

Αφαιρέστε 156 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}+n-156=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 1 και το c με -156 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-156\right)}}{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-156\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -156.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+624}}{2}$$

Προσθέστε το 1 και το 624.

$$n=\frac{-1±\sqrt{625}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$n=\frac{-1±25}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-1±25}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 25.

$$n=\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το 24 με το 2.

$$n=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-1±25}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από -1.

$$n=-\frac{26}{2}$$

Διαιρέστε το -26 με το 2.

$$n=-13$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=12 n=-13$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$n^{2}+n=156$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=156+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=156+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 156 και το \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{625}{4}$$

Παραγον n^{2}+n+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{25}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{25}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=12 n=-13$$