Επίλυση 15x^2-4x-4=

$$15 x ^ { 2 } - 4 x - 4 =$$

Παράγοντας

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -4.

$$a=-10 b=6$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}-4x-4 ως \left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 16 και το 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{4±16}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±16}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 16.

$$x=\frac{20}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±16}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από 4.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{2}{3} με το x_{1} και το -\frac{2}{5} με το x_{2}.

$$15x^{2}-4x-4=15\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$15x^{2}-4x-4=15\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{2}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{5x+2}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-2}{3} επί \frac{5x+2}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)}{3\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 5.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)}{15}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 15 σε 15 και 15.

$$15x^{2}-4x-4=\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$