Επίλυση 15x^2-25x-60

$$15 x ^ { 2 } - 25 x - 60$$

Παράγοντας

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 5.

$$5\left(3x^{2}-5x-12\right)$$

Υπολογίστε 3x^{2}-5x-12. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-9 b=4$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-5x-12 ως \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-25x-60=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -25 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-60\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -60.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+3600}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 625 και το 3600.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{4225}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4225.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±65}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -25 είναι 25.

$$x=\frac{25±65}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{25±65}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{25±65}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 25 και το 65.

$$x=\frac{90}{30}$$

Διαιρέστε το 90 με το 30.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{25±65}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 65 από 25.

$$x=-\frac{40}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{4}{3} με το x_{2}.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\times \frac{3x+4}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 15 και 3.

$$15x^{2}-25x-60=5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Υπολογισμός

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$