Επίλυση 15x^2-14x+3

$$15 x ^ { 2 } - 14 x + 3$$

Παράγοντας

$$\left(3x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=15\times 3=45$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-9 b=-5$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}-14x+3 ως \left(15x^{2}-9x\right)+\left(-5x+3\right).

$$\left(15x^{2}-9x\right)+\left(-5x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(5x-3\right)-\left(5x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-14x+3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15\times 3}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15\times 3}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60\times 3}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 196 και το -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{14±4}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±4}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 4.

$$x=\frac{18}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±4}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 14.

$$x=\frac{10}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{1}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{5} με το x_{1} και το \frac{1}{3} με το x_{2}.

$$15x^{2}-14x+3=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{5x-3}{5}\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{5x-3}{5}\times \frac{3x-1}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5x-3}{5} επί \frac{3x-1}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)}{5\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 3.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)}{15}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 15 σε 15 και 15.

$$15x^{2}-14x+3=\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-1\right)\left(5x-3\right)$$