Επίλυση 15x^2+16x-15=

$$15 x ^ { 2 } + 16 x - 15 =$$

Παράγοντας

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=15\left(-15\right)=-225$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -225.

$$-1,225 -3,75 -5,45 -9,25 -15,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+225=224 -3+75=72 -5+45=40 -9+25=16 -15+15=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=-9 b=25$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}+16x-15 ως \left(15x^{2}-9x\right)+\left(25x-15\right).

$$\left(15x^{2}-9x\right)+\left(25x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(5x-3\right)+5\left(5x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}+16x-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-60\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+900}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 256 και το 900.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1156}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1156.

$$x=\frac{-16±34}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±34}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 34.

$$x=\frac{18}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±34}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 34 από -16.

$$x=-\frac{50}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-50}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{5} με το x_{1} και το -\frac{5}{3} με το x_{2}.

$$15x^{2}+16x-15=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$15x^{2}+16x-15=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{5x-3}{5}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{5x-3}{5}\times \frac{3x+5}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5x-3}{5} επί \frac{3x+5}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)}{5\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 3.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)}{15}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 15 σε 15 και 15.

$$15x^{2}+16x-15=\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$