Επίλυση 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=5 b=6$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}+11x+2 ως \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+1=0 και 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 15, το b με 11 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 121 και το -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±1}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±1}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Η αφαίρεση του 2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Η διαίρεση με το 15 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Διαιρέστε το \frac{11}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{30}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{30} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{30} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{15} και το \frac{121}{900} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Παραγον x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{30} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$