Επίλυση 15m^2+m-6

$$15 m ^ { 2 } + m - 6$$

Παράγοντας

$$\left(5m-3\right)\left(3m+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15m^{2}+am+bm-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=15\left(-6\right)=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-9 b=10$$

Γράψτε πάλι το 15m^{2}+m-6 ως \left(15m^{2}-9m\right)+\left(10m-6\right).

$$\left(15m^{2}-9m\right)+\left(10m-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3m στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3m\left(5m-3\right)+2\left(5m-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5m-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5m-3\right)\left(3m+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15m^{2}+m-6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$m=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 15\left(-6\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 15\left(-6\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$m=\frac{-1±\sqrt{1-60\left(-6\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -6.

$$m=\frac{-1±\sqrt{1+360}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 1 και το 360.

$$m=\frac{-1±\sqrt{361}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$m=\frac{-1±19}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$m=\frac{-1±19}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-1±19}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 19.

$$m=\frac{18}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$m=\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-1±19}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -1.

$$m=-\frac{20}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$m=-\frac{2}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{5} με το x_{1} και το -\frac{2}{3} με το x_{2}.

$$15m^{2}+m-6=15\left(m-\frac{3}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$15m^{2}+m-6=15\left(m-\frac{3}{5}\right)\left(m+\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε m από \frac{3}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15m^{2}+m-6=15\times \frac{5m-3}{5}\left(m+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το m βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15m^{2}+m-6=15\times \frac{5m-3}{5}\times \frac{3m+2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5m-3}{5} επί \frac{3m+2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$15m^{2}+m-6=15\times \frac{\left(5m-3\right)\left(3m+2\right)}{5\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 3.

$$15m^{2}+m-6=15\times \frac{\left(5m-3\right)\left(3m+2\right)}{15}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 15 σε 15 και 15.

$$15m^{2}+m-6=\left(5m-3\right)\left(3m+2\right)$$

Υπολογισμός

$$15m^{2}+m-6$$