Επίλυση 15x^2-26x-57

$$15 { x }^{ 2 } -26x-57$$

Παράγοντας

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx-57. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-26 ab=15\left(-57\right)=-855$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -855.

$$1,-855 3,-285 5,-171 9,-95 15,-57 19,-45$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-855=-854 3-285=-282 5-171=-166 9-95=-86 15-57=-42 19-45=-26$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -26.

$$a=-45 b=19$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}-26x-57 ως \left(15x^{2}-45x\right)+\left(19x-57\right).

$$\left(15x^{2}-45x\right)+\left(19x-57\right)$$

Παραγοντοποιήστε 15x στο πρώτο και στο 19 της δεύτερης ομάδας.

$$15x\left(x-3\right)+19\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-26x-57=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 15\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -26 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 15\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-60\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -57.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+3420}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 676 και το 3420.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{4096}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4096.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±64}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -26 είναι 26.

$$x=\frac{26±64}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{26±64}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{26±64}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 26 και το 64.

$$x=\frac{90}{30}$$

Διαιρέστε το 90 με το 30.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{26±64}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 64 από 26.

$$x=-\frac{38}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-38}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{19}{15}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{19}{15} με το x_{2}.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{19}{15}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{19}{15}\right)$$

Προσθέστε το \frac{19}{15} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\times \frac{15x+19}{15}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 15 σε 15 και 15.

$$15x^{2}-26x-57=\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$