Επίλυση 15x^2-12=8x

$$15 { x }^{ 2 } -12=8x$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$15x^{2}-12-8x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$15x^{2}-8x-12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=15\left(-12\right)=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-18 b=10$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}-8x-12 ως \left(15x^{2}-18x\right)+\left(10x-12\right).

$$\left(15x^{2}-18x\right)+\left(10x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(5x-6\right)+2\left(5x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-6\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-6=0 και 3x+2=0.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$15x^{2}-12-8x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$15x^{2}-8x-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 15, το b με -8 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-12\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-12\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-12\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+720}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 64 και το 720.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{784}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±28}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±28}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{8±28}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±28}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 28.

$$x=\frac{36}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{36}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{6}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±28}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από 8.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$15x^{2}-12-8x=0$$

Προσθήκη 12 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$15x^{2}-8x=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=\frac{12}{15}$$

Η διαίρεση με το 15 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 15.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{12}{15}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{15} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{4}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{15}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{15} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{4}{5}+\frac{16}{225}$$

Προσθέστε το \frac{4}{5} και το \frac{16}{225} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{196}{225}$$

Παραγον x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{196}{225}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{196}{225}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{14}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{14}{15}$$

Προσθέστε \frac{4}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{2}{3}$$