Επίλυση 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-6 b=10$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}+4x-4 ως \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-2=0 και 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 15, το b με 4 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 16 και το 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±16}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±16}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Η διαίρεση με το 15 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{15}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{15} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Προσθέστε το \frac{4}{15} και το \frac{4}{225} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{15} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$