Επίλυση 14x^2+x-3

$$14 x ^ { 2 } + x - 3$$

Παράγοντας

$$\left(7x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 14x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=14\left(-3\right)=-42$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-6 b=7$$

Γράψτε πάλι το 14x^{2}+x-3 ως \left(14x^{2}-6x\right)+\left(7x-3\right).

$$\left(14x^{2}-6x\right)+\left(7x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 14x^{2}-6x.

$$2x\left(7x-3\right)+7x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$14x^{2}+x-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-56\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -56 επί -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 14}$$

Προσθέστε το 1 και το 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 14}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-1±13}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 14.

$$x=\frac{-1±13}{28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±13}{28} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 13.

$$x=\frac{12}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{3}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±13}{28} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -1.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{7} με το x_{1} και το -\frac{1}{2} με το x_{2}.

$$14x^{2}+x-3=14\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$14x^{2}+x-3=14\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{7} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$14x^{2}+x-3=14\times \frac{7x-3}{7}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$14x^{2}+x-3=14\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{2x+1}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{7x-3}{7} επί \frac{2x+1}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$14x^{2}+x-3=14\times \frac{\left(7x-3\right)\left(2x+1\right)}{7\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 7 επί 2.

$$14x^{2}+x-3=14\times \frac{\left(7x-3\right)\left(2x+1\right)}{14}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 14 σε 14 και 14.

$$14x^{2}+x-3=\left(7x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$14x^{2}+x-3$$