Επίλυση 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 14x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-4 b=7$$

Γράψτε πάλι το 14x^{2}+3x-2 ως \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 7x-2=0 και 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 14, το b με 3 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -56 επί -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Προσθέστε το 9 και το 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±11}{28} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±11}{28} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Η διαίρεση με το 14 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{14}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{28}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{28} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Προσθέστε το \frac{1}{7} και το \frac{9}{784} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{28} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$