Επίλυση 14y^2+37y+24

$$14 { y }^{ 2 } +37y+24$$

Παράγοντας

$$\left(2y+3\right)\left(7y+8\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 14y^{2}+ay+by+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=37 ab=14\times 24=336$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 336.

$$1,336 2,168 3,112 4,84 6,56 7,48 8,42 12,28 14,24 16,21$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+336=337 2+168=170 3+112=115 4+84=88 6+56=62 7+48=55 8+42=50 12+28=40 14+24=38 16+21=37$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 37.

$$a=16 b=21$$

Γράψτε πάλι το 14y^{2}+37y+24 ως \left(14y^{2}+16y\right)+\left(21y+24\right).

$$\left(14y^{2}+16y\right)+\left(21y+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2y στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2y\left(7y+8\right)+3\left(7y+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7y+8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$14y^{2}+37y+24=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 14\times 24}}{2\times 14}$$

Υψώστε το 37 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 14\times 24}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 14.

$$y=\frac{-37±\sqrt{1369-56\times 24}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -56 επί 24.

$$y=\frac{-37±\sqrt{1369-1344}}{2\times 14}$$

Προσθέστε το 1369 και το -1344.

$$y=\frac{-37±\sqrt{25}}{2\times 14}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$y=\frac{-37±5}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 14.

$$y=\frac{-37±5}{28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-37±5}{28} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -37 και το 5.

$$y=-\frac{32}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-32}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-37±5}{28} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -37.

$$y=-\frac{42}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-42}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{8}{7} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$14y^{2}+37y+24=14\left(y-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$14y^{2}+37y+24=14\left(y+\frac{8}{7}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{8}{7} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{7y+8}{7}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{7y+8}{7}\times \frac{2y+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{7y+8}{7} επί \frac{2y+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)}{7\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 7 επί 2.

$$14y^{2}+37y+24=14\times \frac{\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)}{14}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 14 σε 14 και 14.

$$14y^{2}+37y+24=\left(7y+8\right)\left(2y+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y+3\right)\left(7y+8\right)$$