Επίλυση 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 14x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -29.

$$a=-35 b=6$$

Γράψτε πάλι το 14x^{2}-29x-15 ως \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-5=0 και 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 14, το b με -29 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Υψώστε το -29 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το -56 επί -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Προσθέστε το 841 και το 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -29 είναι 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{29±41}{28} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 29 και το 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{70}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{29±41}{28} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 41 από 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Προσθέστε 15 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Η αφαίρεση του -15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Αφαιρέστε -15 από 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Η διαίρεση με το 14 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Διαιρέστε το -\frac{29}{14}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{29}{28}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{29}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{29}{28} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Προσθέστε το \frac{15}{14} και το \frac{841}{784} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Παραγον x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Προσθέστε \frac{29}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$