Επίλυση 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$13x-x^{2}=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=10 b=3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+13x-30 ως \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$13x-x^{2}=30$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 13 και το c με -30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 169 και το -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το -6 με το -2.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Διαιρέστε το -20 με το -2.

$$x=10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$13x-x^{2}=30$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Διαιρέστε το 13 με το -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Διαιρέστε το 30 με το -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Διαιρέστε το -13, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Προσθέστε το -30 και το \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=3$$