Επίλυση 13x^2+8x-5=0

$$13 { x }^{ 2 } +8x-5=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{13}\approx 0,384615385$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 13x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=13\left(-5\right)=-65$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -65.

$$-1,65 -5,13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+65=64 -5+13=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-5 b=13$$

Γράψτε πάλι το 13x^{2}+8x-5 ως \left(13x^{2}-5x\right)+\left(13x-5\right).

$$\left(13x^{2}-5x\right)+\left(13x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 13x^{2}-5x.

$$x\left(13x-5\right)+13x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 13x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(13x-5\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 13x-5=0 και x+1=0.

$$x=\frac{5}{13} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$13x^{2}+8x-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 13, το b με 8 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 13\left(-5\right)}}{2\times 13}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 13\left(-5\right)}}{2\times 13}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 13.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-52\left(-5\right)}}{2\times 13}$$

Πολλαπλασιάστε το -52 επί -5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+260}}{2\times 13}$$

Προσθέστε το 64 και το 260.

$$x=\frac{-8±\sqrt{324}}{2\times 13}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-8±18}{2\times 13}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 13.

$$x=\frac{-8±18}{26}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±18}{26} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 18.

$$x=\frac{10}{26}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{26} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{13}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±18}{26} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από -8.

$$x=-\frac{26}{26}$$

Διαιρέστε το -26 με το 26.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{13} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}+8x-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$13x^{2}+8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Η αφαίρεση του -5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$13x^{2}+8x=-\left(-5\right)$$

Αφαιρέστε -5 από 0.

$$13x^{2}+8x=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 13.

$$\frac{13x^{2}+8x}{13}=\frac{5}{13}$$

Η διαίρεση με το 13 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 13.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x=\frac{5}{13}$$

Διαιρέστε το \frac{8}{13}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{4}{13}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{4}{13} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x+\left(\frac{4}{13}\right)^{2}=\frac{5}{13}+\left(\frac{4}{13}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{4}{13} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x+\frac{16}{169}=\frac{5}{13}+\frac{16}{169}$$

Προσθέστε το \frac{5}{13} και το \frac{16}{169} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{8}{13}x+\frac{16}{169}=\frac{81}{169}$$

Παραγον x^{2}+\frac{8}{13}x+\frac{16}{169}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{13}\right)^{2}=\frac{81}{169}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{169}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{4}{13}=\frac{9}{13} x+\frac{4}{13}=-\frac{9}{13}$$

Αφαιρέστε \frac{4}{13} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{13} x=-1$$