Επίλυση 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-2300. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 200.

$$a=-30 b=230$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+200x-2300 ως \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 230 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 120, το b με 8000 και το c με -92000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Υψώστε το 8000 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Πολλαπλασιάστε το -480 επί -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Προσθέστε το 64000000 και το 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8000±10400}{240} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8000 και το 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Διαιρέστε το 2400 με το 240.

$$x=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8000±10400}{240} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10400 από -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18400}{240} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Προσθέστε 92000 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Η αφαίρεση του -92000 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Αφαιρέστε -92000 από 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Η διαίρεση με το 120 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8000}{120} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{92000}{120} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{200}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{100}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{100}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{100}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Προσθέστε το \frac{2300}{3} και το \frac{10000}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{100}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$