Επίλυση 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με -2 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 4 και το -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Διαιρέστε το 2+2i\sqrt{59} με το 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{59} από 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Διαιρέστε το 2-2i\sqrt{59} με το 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{12} και το \frac{1}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Προσθέστε \frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$