Επίλυση 12x^2-17x-5

$$12 x ^ { 2 } - 17 x - 5$$

Παράγοντας

$$\left(3x-5\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-17 ab=12\left(-5\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -17.

$$a=-20 b=3$$

Γράψτε πάλι το 12x^{2}-17x-5 ως \left(12x^{2}-20x\right)+\left(3x-5\right).

$$\left(12x^{2}-20x\right)+\left(3x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην εξίσωση 12x^{2}-20x.

$$4x\left(3x-5\right)+3x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-5\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-17x-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 12\left(-5\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 12\left(-5\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-48\left(-5\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -5.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+240}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 289 και το 240.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±23}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -17 είναι 17.

$$x=\frac{17±23}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{17±23}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{17±23}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 17 και το 23.

$$x=\frac{40}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{5}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{17±23}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από 17.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{3} με το x_{1} και το -\frac{1}{4} με το x_{2}.

$$12x^{2}-17x-5=12\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12x^{2}-17x-5=12\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}-17x-5=12\times \frac{3x-5}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}-17x-5=12\times \frac{3x-5}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-5}{3} επί \frac{4x+1}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12x^{2}-17x-5=12\times \frac{\left(3x-5\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 4.

$$12x^{2}-17x-5=12\times \frac{\left(3x-5\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 12 σε 12 και 12.

$$12x^{2}-17x-5=\left(3x-5\right)\left(4x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-5\right)\left(4x+1\right)$$