Επίλυση 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με -12 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 144 και το 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Διαιρέστε το 12+12\sqrt{3} με το 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12\sqrt{3} από 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Διαιρέστε το 12-12\sqrt{3} με το 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Η αφαίρεση του -6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Αφαιρέστε -6 από 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Διαιρέστε το -12 με το 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$