Επίλυση 12x^2+49x+44

$$12 x ^ { 2 } + 49 x + 44$$

Παράγοντας

$$\left(3x+4\right)\left(4x+11\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12x^{2}+ax+bx+44. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=49 ab=12\times 44=528$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 49.

$$a=16 b=33$$

Γράψτε πάλι το 12x^{2}+49x+44 ως \left(12x^{2}+16x\right)+\left(33x+44\right).

$$\left(12x^{2}+16x\right)+\left(33x+44\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(3x+4\right)+11\left(3x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+4\right)\left(4x+11\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+49x+44=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\times 12\times 44}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 49 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\times 12\times 44}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-48\times 44}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 44.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-2112}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 2401 και το -2112.

$$x=\frac{-49±\sqrt{289}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-49±17}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{-49±17}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-49±17}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -49 και το 17.

$$x=-\frac{32}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-32}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-49±17}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -49.

$$x=-\frac{66}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-66}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{11}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{4}{3} με το x_{1} και το -\frac{11}{4} με το x_{2}.

$$12x^{2}+49x+44=12\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12x^{2}+49x+44=12\left(x+\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{11}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}+49x+44=12\times \frac{3x+4}{3}\left(x+\frac{11}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{11}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}+49x+44=12\times \frac{3x+4}{3}\times \frac{4x+11}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x+4}{3} επί \frac{4x+11}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12x^{2}+49x+44=12\times \frac{\left(3x+4\right)\left(4x+11\right)}{3\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 4.

$$12x^{2}+49x+44=12\times \frac{\left(3x+4\right)\left(4x+11\right)}{12}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 12 σε 12 και 12.

$$12x^{2}+49x+44=\left(3x+4\right)\left(4x+11\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x+4\right)\left(4x+11\right)$$