Επίλυση 12x^2+17x+6

$$12 x ^ { 2 } + 17 x + 6$$

Παράγοντας

$$\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=12\times 6=72$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 72.

$$1,72 2,36 3,24 4,18 6,12 8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+72=73 2+36=38 3+24=27 4+18=22 6+12=18 8+9=17$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=8 b=9$$

Γράψτε πάλι το 12x^{2}+17x+6 ως \left(12x^{2}+8x\right)+\left(9x+6\right).

$$\left(12x^{2}+8x\right)+\left(9x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(3x+2\right)+3\left(3x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+17x+6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\times 6}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-288}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 289 και το -288.

$$x=\frac{-17±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-17±1}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{-17±1}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±1}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 1.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±1}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -17.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{3} με το x_{1} και το -\frac{3}{4} με το x_{2}.

$$12x^{2}+17x+6=12\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12x^{2}+17x+6=12\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{3x+2}{3}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{3x+2}{3}\times \frac{4x+3}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x+2}{3} επί \frac{4x+3}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)}{3\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 4.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)}{12}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 12 σε 12 και 12.

$$12x^{2}+17x+6=\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$