Επίλυση 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Παράγοντας

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12t^{2}+at+bt-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-15 b=8$$

Γράψτε πάλι το 12t^{2}-7t-10 ως \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3t στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4t-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 49 και το 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{7±23}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{7±23}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{4} με x_{1} και το -\frac{2}{3} με x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε t από \frac{5}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το t βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4t-5}{4} επί \frac{3t+2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Απαλοιφή του 12, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 12 και 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$