Επίλυση 12m^2-5m-2=0

$$12 m ^ { 2 } - 5 m - 2 = 0$$

Λύση ως προς m

$$m=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$m=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12m^{2}+am+bm-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-8 b=3$$

Γράψτε πάλι το 12m^{2}-5m-2 ως \left(12m^{2}-8m\right)+\left(3m-2\right).

$$\left(12m^{2}-8m\right)+\left(3m-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4m στην εξίσωση 12m^{2}-8m.

$$4m\left(3m-2\right)+3m-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3m-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3m-2\right)\left(4m+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3m-2=0 και 4m+1=0.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12m^{2}-5m-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με -5 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -2.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$m=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$m=\frac{5±11}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{5±11}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 11.

$$m=\frac{16}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$m=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{5±11}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 5.

$$m=-\frac{6}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$m=-\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12m^{2}-5m-2=0$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12m^{2}-5m-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12m^{2}-5m=-\left(-2\right)$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$12m^{2}-5m=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12m^{2}-5m}{12}=\frac{2}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m=\frac{2}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m=\frac{1}{6}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{12}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{24}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{24} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}=\frac{1}{6}+\frac{25}{576}$$

Προσθέστε το \frac{1}{6} και το \frac{25}{576} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}=\frac{121}{576}$$

Παραγον m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{121}{576}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(m-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{576}}$$

Απλοποιήστε.

$$m-\frac{5}{24}=\frac{11}{24} m-\frac{5}{24}=-\frac{11}{24}$$

Προσθέστε \frac{5}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$