Επίλυση 12k^2+16k-3

$$12 k ^ { 2 } + 16 k - 3$$

Παράγοντας

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12k^{2}+ak+bk-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=-2 b=18$$

Γράψτε πάλι το 12k^{2}+16k-3 ως \left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right).

$$\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2k στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2k\left(6k-1\right)+3\left(6k-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6k-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+16k-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -3.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 256 και το 144.

$$k=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$k=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$k=\frac{-16±20}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-16±20}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 20.

$$k=\frac{4}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$k=\frac{1}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-16±20}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από -16.

$$k=-\frac{36}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{6} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε k από \frac{1}{6} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το k βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\times \frac{2k+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{6k-1}{6} επί \frac{2k+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{6\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 6 επί 2.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{12}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 12 σε 12 και 12.

$$12k^{2}+16k-3=\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$